Προσαρμοσμένη αναζήτηση



Αποστολέας Θέμα: Τρία 'Αλυτα Προβλήματα  (Αναγνώστηκε 2012 φορές)  Share 

0 μέλη και 1 επισκέπτης διαβάζουν αυτό το θέμα.

Αποσυνδεδεμένος Μέλος

  • Super Moderator
  • ******
  • Μηνύματα: 6.684
  • Φύλο: Γυναίκα
  • ---;-{-{@
  • Αξιολ. Απαντ.: +87
  • Μέλος από 17/04/2007
    ΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνια
1. Το Δήλιο πρόβλημα
2. Η Τριχοτόμηση γωνίας
3. Ο Τετραγωνισμός του κύκλου


1. Το Δήλιο πρόβλημα

Το δήλιο πρόβλημα ή ο διπλασιασμός του κύβου απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες και η αναζήτηση λύσεων, οδήγησε σε μια έντονη ανάπτυξη της Γεωμετρίας.

Το δήλιο πρόβλημα απόκτησε δημοσιότητα όταν το ανέφερε, σε μια τραγωδία o βασιλιάς της Κρήτης Μίνως διαμαρτυρόμενος γιατί το κενοτάφιο, που προοριζόταν για το γυιό του Γλαύκο, ήταν πολύ μικρό για βασιλικό μνημείο και απαιτούσε το διπλασιασμό του όγκου του χωρίς να αλλάξει το κυβικό του σχήμα. Πανελλήνια γνωστό όμως έγινε το πρόβλημα αυτό όταν αναφέρθηκε από το μαντείο του Δήλιου Απόλλωνα, όταν δηλαδή ρωτήθηκε το μαντείο, τι πρέπει να κάνουν για να απαλλαγούν από το λοιμό που μάστιζε το νησί Δήλο, απάντησε ότι τούτο θα συμβεί αν διπλασιάσουν τον κυβικό βωμό του Απόλλωνα. Έτσι το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου πέρασε στην ιστορία με το όνομα "Δήλιο πρόβλημα".

Οι λύσεις που δόθηκαν στο πρόβλημα, κατά την ελληνική αρχαιότητα, σώθηκαν και φθάσανε σε μάς από τον σχολιαστή των έργων του Αρχιμήδη Ευτόκιο (6 αι. μ.χ). Αυτός σχολιάζοντας ανάλογο πρόβλημα του Αρχιμήδη και τη μέθοδο που αυτός χρησιμοποίησε για να το λύσει, δίνει όλες τις λύσεις παρεμβολής που του ήταν τότε γνωστές από παλαιότερες συγγραφές. Οι λύσεις που δίνει είναι 12 και η αρχαιότερη είναι του Αρχύτα.
Οι κυριότερες από τις γνωστές λύσεις προέρχονται από τους :

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ο ΧΙΟΣ(470-400 π.χ)

Ο Αρχύτας ο Ταραντίνος (428-365 π.χ)

Ο Πλάτων (427-347 π.χ)

Ο Μέναιχμος (375- π.χ)

Ο Αρχιμήδης (287-212 π.χ)

Ο Ερατοσθένης (276-194 π.χ)

Ο Απολλώνιος (265-170 π.χ)

Ο Νικομήδης (έζησε γύρω στο 200 π.χ)

Ο Ήρων ο Αλεξανδρινός (1ος -2ος αι. μ.χ)

Ο Διοκλής (1ος αι. π.χ)

Ο Πάππος ο Αλεξανδρινός (3ος αι. μ.χ)

Μα ΟΝΕΙΡΟ αν είσαι ...  τα φώτα σβήσε , στα όνειρα να ΖΩ !! Μη ξημερώσει...


Αποσυνδεδεμένος Μέλος

  • Super Moderator
  • ******
  • Μηνύματα: 6.684
  • Φύλο: Γυναίκα
  • ---;-{-{@
  • Αξιολ. Απαντ.: +87
  • Μέλος από 17/04/2007
    ΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνια
ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ο ΧΙΟΣ

'Eζησε στο διάστημα (470-400 π.Χ.).

    * Κατεξοχήν γεωμέτρης, παρακολούθησε περί το 430 π.Χ. μαθήματα Φιλοσοφίας και μαθηματικών στην Αθήνα, στην οποία αργότερα και δίδαξε.
      Ευφυής γεωμέτρης κατέκτησε γρήγορα τις μέχρι τότε γεωμετρικές γνώσεις και συνέβαλε στην δρομολόγηση των λύσεων των προβλημάτων της Γεωμετρίας.

    * Η συμβολή του στην γεωμετρία ήταν η παρακάτω:

          o 'Eγραψε τα πρώτα "Στοιχεία" γεωμετρίας, στα οποία μάλλον τακτοποιούσε κάποια θεωρητικά ζητήματα (Πρόκλος). Είναι πιθανό να κατείχε την πρώτη γεωμετρία του Αναξίμανδρου.

          o Ασχολήθηκε με το πρόβλημα του Διπλασιασμού του Κύβου (κατασκευή του x από την , με α δοσμένο τμήμα), το οποίο τότε περίπου είχε τεθεί, και το ανήγαγε σε πρόβλημα αναλογιών (με τη μορφή της συνεχούς αναλογίας .

          o Ασχολήθηκε με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, από την μελέτη του οποίου οδηγήθηκε στον τετραγωνισμό ενός μηνίσκου. Εκτός αυτού πρότεινε και τον τετραγωνισμό τριών άλλων μηνίσκων, στηριγμένος στην άποψη ότι όλοι οι μηνίσκοι των κανονικών πολυγώνων τετραγωνίζονται (Σιμπλίκιος).



         o Αυτός μάλλον θεώρησε όλους τους κύκλους ως όμοια σχήματα και πρότεινε δύο περίφημα θεωρήματα γι' αυτούς, τα παρακάτω:
      (1) "Τα εμβαδά των κύκλων είναι ανάλογα των τετραγώνων των διαμέτρων τους" (Στοιχεία 2/ΧΙΙ) (Σιμπλίκιος). (Το πρώτο θεώρημα απειροστικού λογισμού).
      (2) "Τα εμβαδά ομοίων κυκλικών τμημάτων (με ίσες επίκεντρες γωνίες) είναι ανάλογα των τετραγώνων των χορδών τους" (Εύδημος).
      Η απόδειξη της (1) στα Στοιχεία είναι μάλλον δική του.

 Οι μαθηματικές του αρχές ήταν Πυθαγόρειες, και είναι πιθανό για τη γεωμετρία εκείνων να είχε πληροφορίες από δημοσιεύσεις του Φιλολάου (440 π.Χ.) ή του αρχαιότερου 'Iππασου (~510 π.Χ.). Το σύνολο της μαθηματικής του δράσης του χάρισε τον τίτλο του "Ευφυούς" γεωμέτρη, ο οποίος με το πρωτοπόρο έργο του, ώθησε την ελληνική γεωμετρία σε νέες κατακτήσεις.


ΑΡΧΥΤΑΣ ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣ

'Eζησε στο διάστημα (428-365 π.Χ.).

    * Αναφέρεται σαν ο τελευταίος των Πυθαγορείων. 'Hταν εξαιρετική προσωπικότητα του Τάραντα με ξεχωριστές πολιτικές και μαθηματικές ικανότητες. Θαυμάζεται ως Φιλόσοφος, Μαθηματικός, Αστρονόμος και Μηχανικός. Υπήρξε δάσκαλος του Πλάτωνα (388 π.Χ.) και αργότερα και του Ευδόξου (365 π.Χ.).
      Η προσφορά στα μαθηματικά της εποχής του ήταν σημαντικότατη. Συγκεκριμένα:

    * Έλυσε πρώτος το Δήλιο πρόβλημα με μια πολύ ωραία θεωρητική κατασκευή. Η λύση πρόκυπτε από την τομή ενός ημικυλίνδρου ενός ημικώνου και μιας σπείρας (στερεό εκ περιστροφής κύκλου περί άξονα που δεν τον τέμνει).

    * Ανέπτυξε τις μεθόδους της Λογιστικής (μαθηματικής τέχνης), με την ανακάλυψη μιας ευφυέστατης μεθόδου υπολογισμού οποιωνδήποτε τετραγωνικών ριζών, στηριγμένης στην μουσική αναλογία ων Πυθαγορείων.

    * Εφάρμοσε πρώτος τα μαθηματικά στην επίλυση προβλημάτων της Μηχανικής (μαθηματικής τέχνης).

    * 'Eλυσε γεωμετρικά προβλήματα με τη βοήθεια κινητικής γεωμετρίας (οργάνων, των οποίων η κίνηση ενός στελέχους έδινε το ζητούμενο μήκος). Είναι πιθανό η φερόμενη ως λύση του Πλάτωνος του Δηλίου προβλήματος να είναι δική του ιδέα.

Γενικά ο Αρχύτας θεωρείτο στην αρχαιότητα ως μεγάλος μετρητής (και υπολογιστής), με μεγάλη προσφορά στους υπολογισμούς διαφόρων μεγεθών.

Αναφέρονται δύο έργα του, το "Αρμονικός" και το "Διατριβαί", από τα οποία σώζονται λίγα αποσπάσματα. Στον Αρχύτα και στα τρία βιβλία του Φιλολάου (που αγόρασε ο Πλάτων), οφείλεται η αρχαία γνώση των επιτευγμάτων και δογμάτων των Πυθαγορείων. Σε αυτούς μάλλον οφείλεται και ο "Πυθαγορισμός" του Πλάτωνα.


ΠΛΑΤΩΝ ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ


Eζησε στο διάστημα (427-347 π.Χ.).

Αθηναίος φιλόσοφος, αριστοκρατικής καταγωγής, ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο του Ελληνισμού, την Ακαδημία, για 40 περίπου χρόνια, μέχρι τον θάνατό του.

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον 60-χρονο πια Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και την διδασκαλία του. Από το συνολικό του έργο σώζονται 36 έργα, τα οποία εκτός από την "Απολογία του Σωκράτη" έχουν τη μορφή διαλόγου. Σε όλα εκτός των "Νόμων" τη συζήτηση διευθύνει ο Σωκράτης, ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή.

Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η Πυθαγόρεια τοποθέτησή του, και ο άκρατος θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς τη Γεωμετρία.

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αι. π.Χ. είναι σημαντικότατη, ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου, Μεναίχμου και Ευδόξου. Η συμβολή όμως του ίδιου του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη, αν και πιστεύεται ότι:

    * 'Eλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με τη βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση.

    * Έδωσε γενική μορφή στην Αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των Γεωμετρικών τόπων.

    * Προσδιόρισε ένα πλήθος των Πυθαγορείων τριάδων, δηλαδή των τριάδων ακεραίων αριθμών, που επαληθεύουν την ισότητα χ22= ω2 του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Για τις τριάδες αυτές έδωσε την έκφραση μ,μ2/4 -1 και μ2/4 +1 , όπου μ άρτιος ( μ>/4). (Αποδίδεται στον Λεωδάμαντα τον Θάσιο).

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του Ουρανού, θέση, σχήμα και κίνηση της γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις (Φαίδων, Τίμαιος), γεγονός που φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα, και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός.

Η κύρια λοιπόν συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπε τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες, και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά, τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία. Η προτροπή αυτή φαίνεται, εκτός των άλλων, και στις απόψεις του ότι τα Μαθηματικά είναι "δόσις θεών εις ανθρώπους" και ότι "οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο".


ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ ο ΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣ



Η λύση του Δήλιου Προβλήματος
από τον Μέναιχμο, με τη
βοήθεια δύο παραβολών.


Γεννήθηκε γύρω στο 375 π.Χ. στην Αλωπεκόννησο ή Προκόννησο της Προποντίδας

    * Μαθητής του Ευδόξου, μάλλον από τη σχολή της Κυζίκου, τον ακολούθησε στην Αθήνα, στην οποία μαθήτευσε στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Αργότερα εξελίχθηκε σε έναν από τους σημαντικότερους καθηγητές της.

    * Η προσφορά του στη Γεωμετρία :

          o Η προσφορά του στη γεωμετρία βρίσκεται κυρίως στο ότι ανακάλυψε τις τρεις κωνικές τομές (παραβολή, έλλειψη, υπερβολή). Η αρχική ονομασία των καμπύλων ήταν "Μεναίχμιος τριάς" προς τιμή του (Ερατοσθένης). Ο Ευκλείδης τις καμπύλες αυτές τις γνωρίζει ως τομές κώνου με επίπεδο. Ο Μέναιχμος τις καμπύλες του τις κατασκεύαζε σημείο προς σημείο. Οι ίδιες καμπύλες με συνεχή κίνηση πιστεύεται ότι κατασκευάστηκαν για πρώτη φορά από τον Ισίδωρο τον Μιλήσιο (6ο αι. μ.Χ.), τον έναν από τους αρχιτέκτονες της Αγίας Σοφίας.

          o Δεύτερη κορυφαία γεωμετρική προσφορά του Μέναιχμου υπήρξε η λύση του Δηλίου προβλήματος, με τη βοήθεια των κωνικών τομών. Μάλιστα έδωσε δύο λύσεις, τις οποίες διέσωσε ο Εύτοκος, μαθητής του Ισίδωρου. Δεν γνωρίζουμε αν η μελέτη του Δηλίου προβλήματος τον οδήγησε στις κωνικές ή αντίστροφα, πάντως είναι βέβαιο ότι οι λύσεις του στηρί-χτηκαν στην αναγωγή που έκανε για το πρόβλημα ο Ιπποκράτης ο Χίος.

    * Κορυφαίος καθηγητής της Ακαδημίας ήταν και ο αδελφός του Δεινόστρατος, για τον οποίο αναφέρεται ότι επιχειρούσε να τετραγωνίσει τον κύκλο στηριγμένος σε μία καμπύλη του Ιππία του Ηλίου (περί το 430 π.Χ.), η οποία επίσης κατασκευαζόταν σημείο προς σημείο. Η χρήση αυτή της καμπύλης της έδωσε το όνομα Τετραγωνίζουσα του Ιππία, αν και εκείνος την επινόησε με στόχο του την τριχοτόμηση γωνίας.

    * Τις τρεις καμπύλες της "Μεναιχμίου Τριάδος" επισταμένα μελέτησε ο Αρισταίος ο Πρεσβύτερος (περί το 320 π.Χ.), ο οποίος και ανακάλυψε ότι αυτές είναι τομές κώνου. Από τον Πάππο αναφέρεται ότι ο Αρισταίος παρουσίασε μεθοδικά τη σχετική θεωρία στο έργο του "Περί Κωνικών Τομών".


Μα ΟΝΕΙΡΟ αν είσαι ...  τα φώτα σβήσε , στα όνειρα να ΖΩ !! Μη ξημερώσει...


Αποσυνδεδεμένος Μέλος

  • Super Moderator
  • ******
  • Μηνύματα: 6.684
  • Φύλο: Γυναίκα
  • ---;-{-{@
  • Αξιολ. Απαντ.: +87
  • Μέλος από 17/04/2007
    ΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνια
ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ο ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣ

'Eζησε στο διάστημα (287-212 π.Χ.).

    * Εξέχουσα μαθηματική φυσιογνωμία με τεράστιο όγκο έργων, πρωτοπόρων και ποιοτικά κορυφαίων. Εξαιρετικό πρότυπο γεωμέτρη ερευνητή, αποτελεί μαζί με τον Ιπποκράτη και τον Εύδοξο, την τριάδα των πρωτεργατών του απειροστικού λογισμού.

      Ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε κυρίως με την μελέτη όλων των προβλημάτων των Μαθηματικών και των Μαθηματικών τεχνών, που εκκρεμούσαν από παλαιότερες μελέτες και ανακάλυψε πλήθος μεθόδων και νέων προτάσεων.

      Ενδεικτικός είναι ο τεράστιος κατάλογος των γνωστών έργων του:

      Σώθηκαν                                                             Χάθηκαν
      Περί σφαίρας και κυλίνδρου                                      Περί τριγώνων
      Κύκλου μέτρησις                                                    Περί τετραπλεύρων
      Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων                            Περί 13 ημικανονικών πολυέδρων
      Περί ελίκων                                                          Αριθμητικά
      Επιπέδων ισορροπιών                                              Περί ζυγών
      Ψαμμίτης                                                              Κεντροβαρικά
      Τετραγωνισμός παραβολής                                      Πλινθίδες και κύλινδροι
      Οχουμένων                                                          Κατοπτρικά
      Στομάχιον                                                            Ισοπεριμετρικά
      Περί των μηχανικών θεωρημάτων                             Στοιχεία μηχανικών Ισορροπίαι
      προς Ερατοσθένην έφοδος                                      Σφαιροποιΐα
      Λήμματα                                                              Στοιχεία επί των στηρίξεων
      Πρόβλημα Βοεικόν                                                 Περί παραλλήλων γραμμών
      Περί του επταγώνου                                              Περί βαρύτητος και ελαφρότητος
      Περί των επιψαυόντων κύκλων                                Περί κοίλων παραβολικών καυστικών κατόπτρων
      Αρχαί της γεωμετρίας                                             Προοπτική
                                                                               Επισίδια βιβλία
                                                                               Βαρυουλκός, Υδροσκοπίαι, Πνευματική
                                                                               Καύσις δια των κατόπτρων
                                                                               Περί Αρχιτεκτονικής
                                                                               Περί δρομομέτρων
                                                                               Στοιχεία των μαθηματικών
                                                                               Περί της διαμέτρου
                                                                               Συγγράμματα εν επιτομή
                                                                               Περί τετραγωνισμού του κύκλου
                                                                               Δεδομένα

    * Εξαιρετικές του μελέτες, και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα, είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου, 'Eλλειψης, Παραβολής και 'Eλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων, των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών.

      Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη, από τον ίδιο, τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του, και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα.

    * Σημαντικότατες για την εποχή του είναι οι μελέτες οι σχετικές με την Μηχανική των στερεών και των υγρών (Κέντρα βάρους, Επιπέδων ισορροπιών, Στηρίξεων, Ανυψωτικών μηχανημάτων, Υδροστατική κ.ά.), και οι θεμελιώδεις προτάσεις των ισορροπιών και της 'Aνωσης (Αρχή του Αρχιμήδη).

    * Μία άλλη σημαντική προσφορά του σοφού μας είναι η έκφραση των εμβαδών όλων των γνωστών κανονικών πολυγώνων συναρτήσει της πλευράς τους. Το γεγονός αυτό μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι είχε εκφράσει όλα τα αντίστοιχα αποστήματα εκ των πλευρών, στηριγμένος στις κεντρικές γωνίες των πολυγώνων. Είναι λοιπόν πολύ πιθανό να διέθετε (ή να είχε συγκροτήσει) πίνακα των λόγων (απόστημα) : (ημι-πλευρά), δηλαδή πίνακα εφαπτομένων.

    * Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων, και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος. Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος).

    * Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία. Συγκεκριμένα έκφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών εφαρμόζοντας "απειροστικές" μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών.

Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη, με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας.

Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεώτερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού.

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών, ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών.


ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣ
'Eζησε στο διάστημα (276-194 π.Χ.) περίπου.

Μαθηματικός, Φυσικός, Γεωγράφος, Αστρονόμος, Ιστορικός και Φιλόλογος σπούδασε και αργότερα δίδαξε στην Αλεξάνδρεια, στο περίφημο Μουσείο της.

Από το 235 π.Χ. και επί 40 χρόνια διετέλεσε διευθυντής της περίφημης βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. Κάτοχος και ταξινομητής όλης της τότε μαθηματικής βιβλιογραφίας, έγινε γρήγορα γνώστης όλων των θεωρητικών προβλημάτων της τότε γεωμετρίας, αλλά και άλλων προβλημάτων της τότε γραμματείας.

Έτσι άπλωσε τη συγγραφική του δράση στην τακτοποίηση αυτών των προβλημάτων, ώστε να διευκολύνει τους μεταγενέστερους μελετητές. Από τα ποικίλα έργα του δεν σώθηκε κανένα εκτός από λίγους τίτλους, όπως:

    * "Χρονογραφίαι" (9 βιβλία): Χρονολογική ταξινόμηση ανθρώπων και γεγονότων.

    * "Γεωγραφικά" (3 βιβλία): Η Μαθηματική γεωγραφία και η ιστορία της.

    * "Περί της Αρχαίας κωμωδίας": Κριτική, ιστορία και χρονολόγηση.

    * "Καταστερισμοί": Μελέτη των αστερισμών.

    * "Περί Μεσοτήτων": Μελέτη της Αριθμητικής Γεωμετρικής και Αρμονικής αναλογίας.

Επιστήθιος φίλος του Αρχιμήδη διατηρούσε επαφή μαζί του και συμμετείχε στα γεωμετρικά ζητούμενα της εποχής του. Δυστυχώς όμως από το συνολικό μαθηματικό του έργο δεν σώθηκε τίποτα. Σώθηκε όμως η μνήμη δύο μαθηματικών του επιτυχιών.

    * Επινόησε και κατασκεύασε το περίφημο όργανο "Μεσολάβιον", με τη βοήθεια του οποίου έλυε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου), και ταυτόχρονα μπορούσε να παρεμβάλει ανάμεσα σε δύο δοσμένα ευθύγραμμα τμήματα δύο μέσες αναλόγους, σε συνεχή αναλογία.

    * Στα περίφημα "Γεωγραφικά" του παρουσίασε την πρώτη ακριβή μαθηματική μέτρηση της περιμέτρου της Γης, με την βοήθεια σκιοθηρικών γνωμόνων, και την βρήκε ίση με 250.000 στάδια (=39.400-41.000 km, έναντι της πραγματικής 40.000 km) (Κλεομήδης, Στράβων).
      Πιστεύεται ότι ανακάλυψε ακόμα μία μέθοδο υπολογισμού της διάρκειας των μεγίστων ημερών στα διάφορα πλάτη, από το γεωγραφικό πλάτος τους, και ότι συγκρότησε πίνακα πλατών γνωστών τόπων.

    * Κατασκεύασε τον πρώτο παγκόσμιο μαθηματικό χάρτη της τότε οικουμένης, την οποία σχεδίασε πάνω σε ένα πλέγμα καθέτων ευθειών (μεσημβρινών και παραλλήλων κύκλων), αξιοποιώντας τις πληροφορίες των γεωγραφικών έργων της βιβλιοθήκης και των έργων των συνοδών του Μ. Αλεξάνδρου στην εκστρατεία της Ασίας.

Λάτρης της ταξινόμησης της ανθρώπινης γνώσης ο Ερατοσθένης, δεν μπόρεσε να αντέξει την στέρηση της μελέτης, που του επέβαλε η γεροντική τύφλωση, και τελικά τερμάτισε τη ζωή του, σε ηλικία 82 ετών, με απεργία πείνας.


Μα ΟΝΕΙΡΟ αν είσαι ...  τα φώτα σβήσε , στα όνειρα να ΖΩ !! Μη ξημερώσει...

Αποσυνδεδεμένος Μέλος

  • Moderator
  • ******
  • Μηνύματα: 649
  • Φύλο: Άντρας
  • Αξιολ. Απαντ.: +35
  • Μέλος από 03/05/2007
    ΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνια
    • Elements of the Hellenic Cosmogony
 Αρχύτας o Ταραντίνος - λύση στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου
http://www.freewebtown.com/gr_math/mathimatikoi/archytas_loria_m.htm
Κόσμος είναι για την κοινωνία το θάρρος των πολιτών της, για το σώμα η ομορφιά, για την ψυχή η σοφία, για την πράξη η αρετή, για το λόγο η αλήθεια.

Αποσυνδεδεμένος Μέλος

  • Super Moderator
  • ******
  • Μηνύματα: 6.684
  • Φύλο: Γυναίκα
  • ---;-{-{@
  • Αξιολ. Απαντ.: +87
  • Μέλος από 17/04/2007
    ΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνια
ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ ο ΠΕΡΓΑΙΟΣ

Έζησε, κατά πάσα πιθανότητα, στο διάστημα (265-170 π.Χ.).

    * Μεγάλος μελετητής της γεωμετρίας έζησε, σπούδασε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια. Καθηγητής του Μουσείου της πόλης του, θεωρείται σαν ο τρίτος μεγαλύτερος μαθηματικός μετά τον Αρχιμήδη και τον Ευκλείδη.

    * Ο Απολλώνιος αν και κορυφαίος μελετητής του Μουσείου, αναφέρεται ως ματαιόδοξος και υπερόπτης. Από το πλήθος των έργων του ελάχιστα σεβάστηκε ο χρόνος με κορυφαίο από αυτά τα "Κωνικά" του. Ενδεικτικός είναι ο κατάλογος των έργων του, που μνημονεύτηκαν.


Σώθηκαν                                                      Χάθηκαν
Κωνικά (8 βιβλία)                                             Περί χωρίου αποτομής (2 βιβλία)
Περί λόγου αποτομής (2 βιβλία)                          Περί επαφών (2 βιβλία)
Κατασκευή δύο μέσων αναλόγων                        Περί νεύσεων (2 βιβλία)
Σύγκριση 12/εδρου και 20/εδρου                        Επίπεδοι τόποι (2 βιβλία)
                                                                    Περί ατάκτων αλόγων
                                                                    Ωκυτόκιο
                                                                    Περί κοχλίου ή ελίκων
                                                                    Η καθόλου πραγματεία
                                                                    Περί του πυρίου
                                                                    Περί της κατασκευής υδραυλικού αρμονίου
                                                                    Αστρονομικό σύγγραμμα αγνώστου τίτλου
                                                                    Θεωρία αριθμών
                                                                    Περί λογιστικών
                                                                    Αναλυόμενος τόπος
                                                                    Κατασκευές ωρολογίων
                                                                    Οπτική
                                                                    Διωρισμένη τομή



* Έργο ζωής από αυτά αποτέλεσε για τον Απολλώνιο το με τίτλο "Κωνικά". Αυτό είναι το μόνο το οποίο σώθηκε από τα αντίστοιχα προγενέστερα έργα των Μεναίχμου, Αρισταίου (5 βιβλία), Ευκλείδη (4 βιβλία) και Αρχιμήδη. Από τα 8 βιβλία του έργου σώθηκαν τα 7, τα οποία περιέχουν 21 ορισμούς, 373 θεωρήματα, 10 πορίσματα και 14 προβλήματα. Ειδικά το 5ο βιβλίο των κωνικών, μαζί με το 5ο των Στοιχείων και το "Περί Ελίκων" του Αρχιμήδη θεωρούνται ως τα κορυφαία αριστουργήματα της Ελληνικής γεωμετρίας.

* Το Δήλιο πρόβλημα αποτέλεσε αντικείμενο μελέτης του, το οποίο και το έλυσε με τη βοήθεια της τομής ενός κύκλου και μιας υπερβολής.

* Στην Αστρονομία ο σοφός μας υπήρξε ο εισηγητής του γεωκεντρικού συστήματος των "εκκέντρων κύκλων και επικύκλων", για την ερμηνεία των κινήσεων του ουρανού κατά τρόπο σύμφωνο προς τις παρατηρήσεις.


ΝΙΚΟΜΗΔΗΣ


'Aκμασε γύρω στο 200 π.Χ..

Μαθηματικός, αγνώστου καταγωγής, έγινε γνωστός από τις αναφορές του Πάππου και του Πρόκλου, από τις οποίες συνάγουμε ότι εκείνος ανακάλυψε την περίφημη Κογχοειδή (ή Κοχλοειδή) καμπύλη με τη βοήθεια της οποίας έλυσε και το Δήλιο πρόβλημα και την Τριχοτόμηση γωνίας.

Για την χάραξη της καμπύλης ο Νικομήδης ανακάλυψε και σχετικό όργανο, με τη βοήθεια του οποίου την σχεδίαζε με συνεχή κίνηση (Ευτόκιος).

Η Κογχοειδής καμπύλη.

Έστω σταθερή ευθεία (ε) (βάση) σταθερό σημείο Π (Πόλος), εκτός της (ε) και σταθερό μήκος μ (διάστημα).

Φέρουμε από το Π το σύνολο των ευθειών, που τέμνουν την (ε) σ' ένα Β, και επάνω τους λαμβάνουμε τμήματα ΒΝ=ΒΜ εκατέρωθεν της (ε).

Ο γεωμετρικός τόπος των Μ και Ν είναι οι δύο κλάδοι της Κογχοειδούς.

Με τη βοήθεια της καμπύλης αυτής λύνεται και το Δήλιο και η Τριχοτόμηση και μάλιστα και με τους δύο κλάδους της καμπύλης.


ΗΡΩΝ ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ

Ο χρόνος ζωής και δράσης του εκτείνεται μεταξύ του 1 αι. π.Χ. και 1 αι. μ.Χ..

    * Γεωμέτρης, Γεωδαίτης και Μηχανικός αποτελεί μαζί με τον Κτησίβιο, τον Αρχιμήδη και τον Φίλωνα την ενδοξότερη ομάδα μηχανικών-εφευρετών της αρχαιότητας. Τα έργα του θεωρητικά, και μηχανικά περιέχουν πλήθος ιστορικών πληροφοριών και κατασκευές πρωτοτύπων μηχανημάτων.

Εκτός από τα έργα του όμως σημαντική είναι η μαθηματική προσφορά του. Συγκεκριμένα:

    * Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα με τη βοήθεια κύκλων (Ήρων, Πάππος).

    * Κατασκεύασε την τελική μορφή Διόπτρας της αρχαιότητας (πρόδρομος του Θεοδόλιχου) και περιέγραψε την επίλυση με τη βοήθειά της πλήθος γεωδαιτικών προβλημάτων.

    * Διέσωσε τον τύπο εμβαδού τριγώνου από τις πλευρές, που είχε ανακαλύψει ο Αρχιμήδης, και έδωσε απλούστερη απόδειξή του.

    * Διέσωσε την μέθοδο υπολογισμού τετραγωνικών ριζών του Αρχύτα, και ακόμα το μοναδικό παράδειγμα υπολογισμού κυβικής ρίζας.

Το συνολικό μαθηματικό έργο του Ήρωνα δικαιολογεί την εκτίμηση που έτρεφε για αυτόν η αρχαιότητα, αν και δεν περιλαμβανόταν μεταξύ των αριστουργημάτων της τότε θεωρητικής και εφαρμοσμένης γεωμετρίας.



ΔΙΟΚΛΗΣ

'Eζησε και έδρασε τον 1 αι. π.Χ.

    * Η καταγωγή και η πόλη δράσης του μας είναι άγνωστες. Στην ιστορία των μαθηματικών πέρασε με τη λύση δύο περίφημων προβλημάτων, του Δηλίου και της διαίρεσης σφαίρας με επίπεδο.
      Ο Ευτόκιος (6 αι. μ.Χ.) ο σχολιαστής των έργων του Αρχιμήδη, μας πληροφορεί ότι οι λύσεις των δύο αυτών προβλημάτων περιέχονται στο έργο του Διοκλή "Περί Πυρείων", που σήμερα είναι χαμένα.

    * Το Δήλιο πρόβλημα ο Διοκλής το έλυσε με την επινόηση μιας καμπύλης (γεωμετρικού τόπου), η οποία τότε κατασκευαζόταν σημείο προς σημείο. Μετά την κατασκευή της καμπύλης ο γεωμέτρης μας ανακάλυψε την ιδιότητά της: . Δηλαδή ότι οι ΚΡ, ΚΟ είναι μέσες ανάλογες των ΑΚ και ΚΖ.
      Ο Διοκλής στη συνέχεια ένωσε το Α με το μέσον της ΔΜ και από την τομή της ευθείας αυτής με την Κισσοειδή, και την πιο πάνω ιδιότητα, κατόρθωσε να κατασκευάσει την πλευρά x του διπλάσιου κύβου από την πλευρά α του δοσμένου (2α/y = y/x=x/a =>x3= 2a3

    * Το πρόβλημα της διαίρεσης σφαίρας με επίπεδο σε δοσμένο λόγο, το έλυσε ο γεωμέτρης μας, με τη βοήθεια της τομής μιας έλλειψης και μιας ισοσκελούς υπερβολής, διαφορετικά από ότι ο Αρχιμήδης και χωρίς να γνωρίζει, όπως πιστεύεται, τη λύση εκείνου.


ΠΑΠΠΟΣ ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ

Έζησε και άκμασε γύρω στο 300 μ.x.

Μαθηματικός του τέλους της Έλληνικής αρχαιότητας, ένοιωσε την ανάγκη λίγο πριν το σκοτάδι του μεσαίωνα να υπομνήσει έργα αρχαίων Έλληνων μαθηματικών, μεταξύ των οποίων ο Ευκλείδης , ο Διόδωρος ο αλεξανδρινός και ο Πτολεμαίος.

Κορυφαίο από τα έργα του υπήρξε το με τίτλο "Μαθηματική Συναγωγή", σε 8 βιβλία, απο τα οποία χάθηκαν το πρώτο και η αρχή του δευτέρου. Το περιεχόμενο του έργου αυτού ήταν θεωρήματα, προβλήματα και κατασκευές των περιφημότερων ελλήνων μαθηματικών της αρχαιότητας, με θέμα τους ενδιαφέροντα ζητήματα της τότε ανώτερης γεωμετρίας ( Διπλασιασμός του κύβου, τετραγωνισμός του κύκλου, κέντρο βάρους, γεωμετρικοί τόποι και άλλα).

Το έργο αυτό όμως δεν αποτελεί απλώς μία συλλογή σχολίων. Ο Πάππος, αναφερόμενος στα αρχαία ζητήματα της Γεωμετρίας , κριτικάρει, διορθώνει και γενικεύει πολλές από τις προτάσεις των παλαιοτέρων γεωμετρών προσφέροντας ταυτόχρονα ένα τεράστιο όγκο ιστορικών και βιβλιογραφικών πληροφοριών. Οι περισσότερες πληροφορίες για τα χαμένα έργα των μεγάλων Έλλήνων μαθηματικών περιέχονται στο έργο αυτό, στο οποίο ο ίδιος προσθέτει μεγάλο πλήθος δικών του Λημμάτων.

Σημαντικά τμήματα του περιεχομένου του είναι:

    * Το περίφημο θεώρημα που φέρει το όνομα του. Αυτό μάλλον αποτελεί γενίκευση μιάς ιδέας του Διονυσόδωρου του Μήλιου.

    * Η θεωρία των Ισοπεριμέτρων σχημάτων για τις σχέσεις που συνδέουν τα εμβαδά τους.

    * Κατάλογος 33 έργων που αποτελούσαν τον λεγόμενο αναλυόμενο τόπο. Στον κατάλογο αυτό περιέχονται έργα του Ευκλείδη , του Απολλώνιου, του Ερατοσθένη και άλλων.

    * Οι καμπύλες που λύνουν τα τρία διάσημα προβλήματα της αρχαιότητας (Δήλιο πρόβλημα , Τετραγωνισμός του κύκλου και Τριχοτόμηση γωνίας). Αναφέρεται στην Έλικα του Αρχιμήδη και την Τετραγωνίζουσα του Ιππία , με την βοήθεια των οποίων δίνονται γενικές λύσεις του προβλήματος υποδιαίρεσης γωνίας σε ίσα μέρη.

Η "Μαθηματική Συναγωγή" του Πάππου αποτελεί τον επίλογο της Έλληνικής Γεωμετρίας, της οποίας νοιώθει ότι πλησιάζει το τέλος. Είναι μία αγωνιώδης ίσως προσπάθεια διατήρησης της επαφής με το παρελθόν, το οποίο με ασφαλή βήματα χανόταν στο σκοτάδι του επερχόμενου μεσαίωνα.
Μα ΟΝΕΙΡΟ αν είσαι ...  τα φώτα σβήσε , στα όνειρα να ΖΩ !! Μη ξημερώσει...

Αποσυνδεδεμένος Μέλος

  • Super Moderator
  • ******
  • Μηνύματα: 6.684
  • Φύλο: Γυναίκα
  • ---;-{-{@
  • Αξιολ. Απαντ.: +87
  • Μέλος από 17/04/2007
    ΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνια
2. Η Τριχοτόμηση γωνίας

Σήμερα δεν γνωρίζουμε κάτω από ποιες συνθήκες τέθηκε το πρόβλημα της τριχοτόμησης γωνίας στην ελληνική αρχαιότητα. Ξέρουμε όμως ότι αποτελούσε το ένα από τα τρία μεγάλα προβλήματα μετά το Δήλιο και τον τετραγωνισμό του κύκλου. Ουσιαστικά το πρόβλημα έγκειται στην τριχοτόμηση οξείας γωνίας, διότι αν είναι αμβλεία αφαιρούμε απο αυτήν την ορθή που μπορεί να τριχοτομηθεί με χάρακα και διαβήτη. Η τριχοτόμηση όμως μιάς οξείας γωνίας είναι αδύνατο να πραγματοποιηθεί μόνο με χάρακα και διαβήτη γιατί η εξίσωση που την εκφράζει είναι τρίτου βαθμού χωρίς να μπορεί να αναχθεί σε δευτέρου. Πράγματι από τη τριγωνομετρία μας είναι γνωστή η σχέση στην οποία αν θέσουμε εφ3θ=α και εφθ=x και κάνουμε τις πράξεις θα φθάσουμε στη x3-3αx2-3x+α=0 που είναι η εξίσωση της τριχοτόμησης. Η κατασκευή με χάρακα και διαβήτη των ριζών αυτής της εξίσωσης είναι δυνατή μόνο αν μπορεί αυτή να αναλυθεί σε δύο παράγοντες, ένα πρωτοβάθμιο και ένα δευτεροβάθμιο, όμως αυτό αποδείχθηκε μόλις το 1837, ότι είναι αδύνατο.

Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες όταν οι προσπάθειές τους με το χάρακα και το διαβήτη δεν απέδωσαν, στράφηκαν σε άλλες καμπύλες εκτός του κύκλου και σε άλλες μεθόδους. Το πρώτο αποτέλεσμα αυτής της προσπάθειας ήταν η επινόηση από τον Ιππία τον Ηλείο της πρώτης καμπύλης στην ελληνική Γεωμετρία, μετά την περιφέρεια, της τετραγωνίζουσας, με τη βοήθεια της οποίας έδωσε και τη πρώτη λύση του προβλήματος.

Οι γνωστότεροι αρχαίοι γεωμέτρες που ασχοληθήκανε με το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας ειναι :

    * Ο Ιππίας ο Ηλείος (περίπου 430 π.χ)

    * Ο Αρχιμήδης (287-212 π.χ)

    * Ο Νικομήδης (περίπου 200 π.χ)

    * Ο Πάππος ο Αλεξανδρινός (3ος αι. μ.χ)
Μα ΟΝΕΙΡΟ αν είσαι ...  τα φώτα σβήσε , στα όνειρα να ΖΩ !! Μη ξημερώσει...

Αποσυνδεδεμένος Μέλος

  • Super Moderator
  • ******
  • Μηνύματα: 6.684
  • Φύλο: Γυναίκα
  • ---;-{-{@
  • Αξιολ. Απαντ.: +87
  • Μέλος από 17/04/2007
    ΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνια
3. Ο Τετραγωνισμός του κύκλου

Η μέτρηση του εμβαδού του περικλειομένου από κάποιο σχήμα, ήταν σε όλους τους λαούς, από την εποχή που ακόμη η γεωμετρία ήταν εμπειρικής μορφής, βασική επιδίωξη όλων των γεωμετρών. Από τη στιγμή που διαλέξανε σαν μονάδα μέτρησης των εμβαδών, το τετράγωνο με πλευρά τη μονάδα μήκους, αυτόματα τέθηκε και το πρόβλημα του τετραγωνισμού των διαφόρων σχημάτων.

Αρχικά "τετραγωνίστηκαν" δηλαδή προσδιορίστηκε το εμβαδόν τους, τα ορθογώνια, τα τρίγωνα, τα παραλληλόγραμμα και ορισμένα πολύγωνα. Μετά από αυτό ήταν φυσικό να επιδιωχθεί και ο τετραγωνισμός σχημάτων περικλειομένων από καμπύλες γραμμές και πρώτου από όλα του κύκλου. Ο τετραγωνισμός του κύκλου, το τρίτο από τα μεγάλα προβλήματα της αρχαιότητας, απασχόλησε πολλούς ερευνητές για πολλούς αιώνες και υπήρξε το μεγάλο εμπόδιο πάνω στο οποίο σκόνταψαν μεγάλα ονόματα.

Η απαίτηση του προβλήματος είναι να κατασκευαστεί τετράγωνο ισοδύναμο με δοσμένο κύκλο, αν δηλαδή είναι R η ακτίνα του κύκλου και x η ζητούμενη πλευρά του τετραγώνου, πρέπει να αληθεύει η σχέση , όπου π ο λόγος του μήκους της περιφέρειας προς το μήκος της διαμέτρου του κύκλου. Παρόλο που εμπειρικά είχε διαπιστωθεί ότι ο λόγος π της περιφέρειας προς τη διάμετρο διατηρείται σταθερός, ωστόσο η κατασκευή αυτού του λόγου και όταν ακόμη η Γεωμετρία εφοδιασμένη με την απόδειξη είχε γίνει επιστήμη, στάθηκε αδύνατη. Υπήρξαν κατασκευές του π μεγαλοφυείς κατά τη σύλληψη όχι όμως πραγματοποιημένες σύμφωνα με την απαίτηση του "χάρακα και του διαβήτη" που έθεταν τότε. Παράλληλα έγιναν μεγαλειώδεις προσπάθειες υπολογισμού της τιμής του π, οι οποίες με πρωτεργάτη τον Αρχιμήδη, έδωσαν ένδοξα αποτελέσματα.

Ο πρώτος που ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό του κύκλου είναι ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος (500-428 π.χ) δάσκαλος και φίλος του Περικλή. Στη συνέχεια ασχολήθηκαν οι Ιπποκράτης ο Χίος (470- 400 π.χ) ο σοφιστής Αντιφών ο Αθηναίος (περί το 430 π.χ) ο επίσης σοφιστής Βρύσων ο Ηρακλειώτης σύγχρονος του Αντιφώντα. Ουσιαστική ώθηση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, δόθηκε από τον σοφιστή Ιππία τον Ηλείο (β' μισό του 5ου αι. π.χ) και από τους Πάππο (3ος αι. μ.χ) και τον Δεινόστρατο (4ος αι. π.χ) αδελφό του Μέναιχμου.

Ο Ιάμβλιχος (250-325 μ.χ) αναφέρει ότι τον τετραγωνισμό του κύκλου κατόρθωσαν :

    * O Αρχιμήδης (267-212 π.χ) με τη βοήθεια της "Έλικας".

    * Ο Νικομήδης (περίπου 200 π.χ) με την καμπύλη που ονομαζόταν "ιδίως τετραγωνίζουσα".

    * Ο Απολλώνιος (265-170 π.χ) με την καμπύλη που ονόμαζε ο ίδιος "αδελφή της κοχλοειδούς" που ήταν όμως ίδια με την καμπύλη του Νικομήδη.

    * Ο Κάρπος με κάποια καμπύλη την οποία ονομάζει απλά "εκ διπλής κινήσεως προερχομένη".


Πηγή :telemath.gr
Μα ΟΝΕΙΡΟ αν είσαι ...  τα φώτα σβήσε , στα όνειρα να ΖΩ !! Μη ξημερώσει...

Αποσυνδεδεμένος Μέλος

  • Moderator
  • ******
  • Μηνύματα: 649
  • Φύλο: Άντρας
  • Αξιολ. Απαντ.: +35
  • Μέλος από 03/05/2007
    ΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνια
    • Elements of the Hellenic Cosmogony
ΕΥΔΟΞΟΣ ο ΚΝΙΔΙΟΣ 'Eζησε στο διάστημα (407-354 π.Χ.).

Μεγάλος μαθηματικός, αστρονόμος, γεωγράφος, μηχανικός και γιατρός υπήρξε ιδρυτής της περίφημης σχολής της Κυζίκου. Αργότερα μετά από πρόσκληση του Πλάτωνα ήλθε με πλήθος μαθητών του στην Αθήνα και ίδρυσε το Φυσικομαθηματικό τμήμα της Ακαδημίας του Πλάτωνα, το οποίο διεύθυνε μέχρι τον θάνατό του.

Στη σχολή αυτή εγκατέστησε όργανα αστρονομικών μετρήσεων μεταξύ των οποίων και την περίφημη Κλεψύδρα της.
Η συμβολή του στα Μαθηματικά υπήρξε μεγάλη. Ενδεικτικά αναφέρονται:
Στην Γεωμετρία
Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα, με άγνωστη σε εμάς λύση.

Έγραψε το 5ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, στο οποίο αναπτύσσεται μία γενική θεωρία αναλογιών, συμμέτρων και ασυμμέτρων μεγεθών.

Ανάπτυξε και εφάρμοσε τις αρχές της "Μεθόδου εξαντλήσεως" με τη βοήθεια της οποίας πραγματοποίησε υπολογισμούς εμβαδών και όγκων.

Απόδειξε, με την μέθοδο του Ιπποκράτη, το θεώρημα του όγκου του Κώνου, το οποίο είχε διατυπώσει παλαιότερα ο Δημόκριτος.

Στην Αστρονομία

Χαρτογράφησε τους αστερισμούς του Ισημερινού και των Τροπικών κύκλων, και ονομάτισε τους σχηματισμούς τους (Ίππαρχος).

Απόδειξε τη σφαιρικότητα της γης, και μάλλον αυτός μέτρησε για πρώτη φορά την περίμετρό της.

Πρότεινε το πρώτο μαθηματικό μοντέλο της κίνησης του ουρανού, σύμφωνα με τις παρατηρήσεις (σώζοντος τα φαινόμενα), το περίφημο σύστημα των ομοκέντρων σφαιρών.

Μέτρησε τις περιόδους των 5 πλανητών, δίνοντας τις τιμές: 'Aρης 2 έτη (πραγμ. 1,88), Δίας 12 έτη (11,86) και Κρόνος 30 έτη (29,46).

Από τα έργα του σημαντικά θεωρούνται τα με τίτλο: "Οκταετηρίς" (ημερολογιακό), "Γης Περίοδος" (κυκλική περιήγηση της Οικουμένης), "Περί Ταχών" (γωνιακών ταχυτήτων των Πλανητών) καθώς και τα περίφημα "Φαινόμενα" (περιγραφή αστερισμών) τα οποία στιχούργησε ο 'Aρατος.

Εκτός αυτού πιστεύεται ότι συνέβαλε στην απόδειξη της μοναδικότητας των 5 κανονικών πολυέδρων, καθώς και στην μελέτη των ιδιοτήτων της διαίρεσης σε μέσο και άκρο λόγο.

Γενικά λοιπόν το έργο και η προσωπικότητα του Ευδόξου ήταν τέτοια ώστε έγιναν αιτία τα Μαθηματικά στην Αθήνα, και στον Ελληνισμό γενικότερα, να αποκτήσουν ιδιαίτερη αίγλη και εξαιρετικούς μελετητές. Ο ίδιος ο Εύδοξος για το έργο του και την επιρροή του στην Ακαδημία ονομάστηκε 'Eνδοξος κατά παραφθορά του Εύδοξου.
Κόσμος είναι για την κοινωνία το θάρρος των πολιτών της, για το σώμα η ομορφιά, για την ψυχή η σοφία, για την πράξη η αρετή, για το λόγο η αλήθεια.

Αποσυνδεδεμένος Μέλος

  • Moderator
  • ******
  • Μηνύματα: 649
  • Φύλο: Άντρας
  • Αξιολ. Απαντ.: +35
  • Μέλος από 03/05/2007
    ΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνιαΧρόνια
    • Elements of the Hellenic Cosmogony

Τριχοτόμηση  Γωνίας - Το πρόβλημα
 
     Οι  αρχαίοι είχαν, από πολύ νωρίς, κατορθώσει να διχοτομήσουν μια τυχαία γωνία, με χρήση του κανόνα και του διαβήτη, συνεχίζοντας μπορούσαν να διαιρέσουν  μια γωνία σε  4, 8, 16  και γενικά σε    ίσα μέρη.
     Μπορούσαν επίσης, να κατασκευάζουν, με κανόνα και διαβήτη:
το ισοσκελές τρίγωνο, το τετράγωνο, το κανονικό πεντάγωνο, το κανονικό εξάγωνο, το κανονικό δεκάγωνο  και το κανονικό δεκαπεντάγωνο.
  Όταν οι προσπάθειες τους  να τριχοτομήσουν μια γωνία με κανόνα και διαβήτη απέτυχαν, στράφηκαν σε άλλες καμπύλες  πιο πολύπλοκες από τον κύκλο, οι οποίες είναι δυνατόν να οδηγήσουν στη λύση του προβλήματος
 
Τριχοτόμηση  γωνίας   - Η λύση του  Ιππία
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/Hippias/hippias.htm
Τριχοτόμηση  Γωνίας -Η  λύση  του  Αρχιμήδη-1
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/trisectionAngle/trisectionAngle.htm
Τριχοτόμηση  Γωνίας -Η  λύση  του  Αρχιμήδη-2  http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/triAngArchimedes2/triAngArchimedes2.html
Τριχοτόμηση  Γωνίας -Η  πρώτη λύση  του  Πάππου
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/trisectionAngle2/trisectionAngle2.htm
Τριχοτόμηση  Γωνίας -Η δεύτερη λύση  του  Πάππου
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/trisAnglePappos2/trisAnglePappos2.html
Τριχοτόμηση  Γωνίας -Η  λύση  του  Νικομήδη
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/trisectionAngleNicomedes/trisAngleNicom.htm


 Ο  διπλασιασμός του κύβου -  Το πρόβλημα
   Στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, δίνεται ένας κύβος ακμής  α  και  ζητείται να βρεθεί η ακμή  x ενός άλλου κύβου με διπλάσιο όγκο.

Διπλασιασμός του κύβου  -   Η λύση  του Αρχύτα
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/doublingCubeArchytas/doublingCubeArchytas.html
Διπλασιασμός του κύβου -Η λύση  του  Ευδόξου
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/doublingCubeEudoxus/doublingCubeEudoxus.html
Διπλασιασμός του κύβου -Η λύση  του  Μεναίχμου
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/doublingCubeMenaechmus/doublingCMenaechmus.html
Διπλασιασμός του κύβου  -   Η λύση  του Πλάτωνα
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/doublingCube/doublingCube.htm
Διπλασιασμός του κύβου -Η λύση  του  Ερατοσθένη
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/doublingCube3/doublingCube3.htm
Διπλασιασμός του κύβου -Η λύση του Νικομήδη
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/doubligCubeNicomedes/nicomedes.htm
Διπλασιασμός του κύβου -Απόδειξη Απολλωνίου
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/doublingCubeApollonius/doubCubeApollonius.html
Διπλασιασμός του κύβου -Η λύση  του  Ήρωνα
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/doublingCubeHeron/doublingCubeHeron.html
Διπλασιασμός του κύβου -Η λύση  του  Διοκλή
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/doublingCubeDiocles/doublingCubeDiocles.html
Διπλασιασμός του κύβου -Η λύση  του  Πάππου
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/doublingCubePappus/doublingCubePappus.html

Ο   τετραγωνισμός   του κύκλου

Η  μέτρηση  του εμβαδού που περικλείεται  από κάποιο  σχήμα ήταν  από  τις κυριότερες  επιδιώξεις   των γεωμετρών. Ως  μονάδα  μέτρησης  του εμβαδού  διάλεξαν  το τετράγωνο με πλευρά  τη μονάδα  μήκους, έτσι τέθηκε το πρόβλημα του τετραγωνισμού των διαφόρων σχημάτων, δηλ της κατασκευής ενός τετραγώνου  που να έχει το ίδιο εμβαδόν με το δοσμένο σχήμα.
            Μετά  τον  τετραγωνισμό  του ορθογωνίου, του τριγώνου, του παραλληλογράμμου και γενικά  των πολυγώνων, στράφηκαν  στον τετραγωνισμό σχημάτων που ορίζονται από καμπύλες γραμμές. Έτσι  αρχικά, τέθηκε  το πρόβλημα του  τετραγωνισμού του κύκλου:
η κατασκευή  με κανόνα  και διαβήτη ενός τετραγώνου με εμβαδόν ίσο με το εμβαδό  δοσμένου κύκλου.

Τετραγωνισμός   του κύκλου - Η λύση του Δεινόστρατου
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/SquaringTheCircle/Dinostratus/dinostratus.html
Τετραγωνισμός   του κύκλου - Η λύση του Αρχιμήδη
http://users.sch.gr//thafounar/Genika/problemGeometry/SquaringTheCircle/SquCirArchimedes/squCirArchimedes.html

Κόσμος είναι για την κοινωνία το θάρρος των πολιτών της, για το σώμα η ομορφιά, για την ψυχή η σοφία, για την πράξη η αρετή, για το λόγο η αλήθεια.